Численные методы

Моделирование – неотъемлемая часть научной деятельности, задача которой – выявить главные характерные черты поведения исследуемой системы или процесса. Математическая модель позволяет в формальном виде, в частности, в форме уравнения или системы уравнений (алгебраических, дифференциальных и др.) описать объект моделирования. И если модель адекватна, то ее можно использовать для исследования поведения системы, например, в экстремальных условиях, когда натурный эксперимент опасен, дорог или просто невозможен. Это осуществляется в рамках вычислительного эксперимента, который предполагает активное использование численных методов. Теория численных методов опирается, с одной стороны, на достижения классической математики, с другой – на современные технологии программирования и возможности вычислительной техники. Важной целью вычислительной математики является оптимизация вычислительных алгоритмов и, в общем случае, вычислительного процесса.

Научные интересы кафедры связаны с разработкой вычислительных методов решения современных задач в области информационных технологий, механики и теории управления.

Основными разделами программы являются: современные численные методы решения задач алгебры и анализа; теория разностных схем; вариационно-разностные методы; численные методы оптимизации; компьютерные технологии. Главная особенность данной магистерской программы заключается в освоении значительного количества методов для решения задач, связанных с управлением, прогнозированием, оптимизацией сложных технических устройств и систем различного назначения.

В рамках магистерской программы Численные методы предполагается изучение следующих дисциплин: Приближенные методы решения задач оптимального управления, Основы нечеткого моделирования, Технология разреженных матриц, Планирование эксперимента и анализ результатов, Численные методы гидродинамики, Методы решения задач вариационного исчисления, Численные методы оптимизации, Метод конечных элементов, Вычислительные технологии, Современные компьютерные технологии и др.

Практика магистров проходит в таких крупнейших научно-производственных объединениях, как концерн «Созвездие», конструкторское бюро «Химавтоматика» (КБХФ).

Сферами профессиональной деятельности выпускников, подготовленных в рамках магистерской программы Численные методы, являются конструкторские бюро и НИИ, научно-технические отделы промышленных предприятий приборостроения, машиностроения и других отраслей. Кроме того, выпускники магистратуры смогут работать в сфере информационных технологий.

Продолжить исследования и получить научную степень магистры могут в аспирантуре по нескольким специальностям: 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации, 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Магистерская программа Численные методы относится к направлению Прикладная математика и информатика.

Дисциплина Комментарии
Современные алгоритмы численных методов Современные методы решения СЛУ большой размерности с ленточными разреженными матрицами; современные методы решения и оценки точности получаемых решений для систем ОДУ; основные технологии метода конечных элементов.
Приближенные методы решения задач оптимального управления Методы последовательных приближений для решения задач оптимального управления в форме Понтрягина, основанные на принципе максимуму Понтрягина.
Основы нечеткого моделирования Фактор неопределенности и способы его формализации; понятие нечеткого множества и сопутствующие определения; нечеткие числа и операции над ними; лингвистическая модель представления информации; нечеткое моделирование в MatLab.
Модели и методы принятия решений Классификация задач принятия решений; многокритериальная модель; принцип Парето; метод экспертных оценок; модели группового выбора; принятие решений в различных условиях (определенности, риска и неопределенности, конфликта); лингвистический подход к принятию решений; модели оценочны систем.
Технология разреженных матриц Способы хранения и представления разреженных матриц, операции над разреженными матрицами; оптимизация процесса решения систем с разреженными матрицами с использованием теории графов; прогнозирование заполнения симметричных положительно определенных матриц.
Дополнительные главы численных методов Методы решения систем дифференциальных уравнений.
Планирование эксперимента и анализ результатов Классификация методов моделирования сложных систем; методы подготовки исходных данных и задания условий функционирования; имитационное моделирование; методы получения наблюдений; анализ эмпирических данных; основной принцип наименьших квадратов; статистическая обработка данных; классификация и снижение размерности; последовательное планирование экспериментов; задачи управления и задачи поиска; учет фактора неопределенности; достаточные эксперименты.
Численные методы гидродинамики Метод контрольных объемов; запись сеточных уравнений на разнесенной сетке; алгоритмы решения одномерных и многомерных задач; схемы расщепления по физическим параметрам.
Методы решения задач вариационного исчисления Изучаются необходимые и достаточные условия существования решения вариационных задач, приближенные методы решения задач.
Численные методы оптимизации Классификация методов оптимизации; одномерная минимизация; многомерная оптимизация; градиентные методы; методы условной оптимизации; многомерная многоэкстремальная минимизация; численные методы максимина; вычислительная сложность экстремальных задач; экстремальные задачи с неопределенной структурой; стратегии поиска экстремума.
Метод конечных элементов (МКЭ) Основные технологии МКЭ на примере трехмерной задачи теплопроводности, способы разбиения тела на элементарные объемы (тетраэдры), построение обобщенной матрицы теплопроводности и учет граничных условий; способы хранения и решения систем уравнений с разреженными матрицами большой размерности; построение функций формы высоких степеней; метод суперэлементов; МКЭ – самый употребительный численный метод расчета в задачах машиностроения, авиа- и самолетостроения.